y - x - 2 = 0 সরলরেখাটি
i. x অক্ষের সাথে 45° $°$ কোণ উৎপন্ন করে
ii. দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য =4
iii. y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে
নিচের কোনটি সঠিক?

Created: 1 year ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

i ও ii
খ

i ও iii
গ

ii ও iii
ঘ

i, ii ও iii

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ময়মনসিংহ বোর্ড - 2025 বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ

144

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণটি হলো:

$y - x - 2 = 0$

এই সমীকরণটিকে ঢাল-ছেদক আকারে $y = mx + c$ প্রকাশ করে পাই:

$y = x + 2$

এখানে, ঢাল $m = 1$ এবং y-অক্ষের ছেদক $c = 2$।

এই সমীকরণটিকে ছেদক আকারে $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ প্রকাশ করে পাই:

$x - y = -2$

$\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1$

এখানে, x-অক্ষের ছেদক $a = -2$ এবং y-অক্ষের ছেদক $b = 2$।

এবার প্রদত্ত শর্তগুলো যাচাই করি:

i. x অক্ষের সাথে 45$^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে

আমরা জানি, সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে এর ঢাল $m = \tan \theta$।

এখানে, ঢাল $m = 1$।

সুতরাং, $\tan \theta = 1$

$\theta = \tan^{-1}(1)$

$\theta = 45^\circ$

অতএব, বিবৃতি i সঠিক।

ii. দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য = 4

সরলরেখাটি x-অক্ষকে $(-2, 0)$ বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে $(0, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হবে এই দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।

দূরত্ব $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 0)^2}$

$= \sqrt{(2)^2 + (2)^2}$

$= \sqrt{4 + 4}$

$= \sqrt{8}$

$= 2\sqrt{2}$

যেহেতু $2\sqrt{2} \neq 4$, অতএব বিবৃতি ii বেঠিক।

iii. y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে

আমরা দেখেছি, সরলরেখার সমীকরণ $y = x + 2$ এর y-অক্ষের ছেদক $c = 2$। এর অর্থ হলো, সরলরেখাটি y-অক্ষকে $(0, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, বিবৃতি iii সঠিক।

সুতরাং, i ও iii নং বিবৃতি দুটি সঠিক।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 286

Practice

বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ

সরলরেখার বিভিন্ন আকারের সমীকরণ রয়েছে, যা রেখার অবস্থান ও গঠন নির্ভর করে। নিচে সরলরেখার বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ এবং তাদের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আলোচনা করা হলো:

১. ঢাল-অবস্থান বিন্দু আকারের সমীকরণ (Slope-Intercept Form)

সরলরেখার এই আকারের সমীকরণটি হলো:
\[
y = mx + c
\]
এখানে:

$ m $ হল রেখার ঢাল বা সোপান।
$ c $ হল $ y $-অক্ষের সাথে রেখার ছেদ বিন্দু (y-intercept)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সরলরেখার ঢাল $ m = 2 $ এবং $ y $-অক্ষে ছেদ বিন্দু $ c = 3 $ হয়, তবে সমীকরণ হবে:
\[
y = 2x + 3
\]

২. বিন্দু-ঢাল আকারের সমীকরণ (Point-Slope Form)

যদি কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু $ (x_1, y_1) $ এবং রেখার ঢাল $ m $ জানা থাকে, তবে সরলরেখার সমীকরণ হবে:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
এটি সাধারণত তখন ব্যবহৃত হয়, যখন একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং রেখার ঢাল দেওয়া থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বিন্দু $ (2, 3) $ এবং রেখার ঢাল $ m = -1 $ হয়, তবে সমীকরণ হবে:
\[
y - 3 = -1(x - 2)
\]

৩. সাধারণ আকারের সমীকরণ (General Form)

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো:
\[
Ax + By + C = 0
\]
এখানে $ A $, $ B $, এবং $ C $ ধ্রুবক এবং $ A $ এবং $ B $ একসাথে শূন্য নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণ হয় $ 3x + 4y - 12 = 0 $, তবে এটি একটি সাধারণ আকারের সমীকরণ।

৪. দুই ছেদ বিন্দু আকারের সমীকরণ (Two-Intercept Form)

যদি একটি সরলরেখা $ x $-অক্ষকে $ a $ বিন্দুতে এবং $ y $-অক্ষকে $ b $ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সমীকরণ হবে:
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি রেখাটি $ x $-অক্ষকে $ 3 $ এবং $ y $-অক্ষকে $ 4 $ এ ছেদ করে, তবে সমীকরণ হবে:
\[
\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1
\]

৫. অনুভূমিক রেখার সমীকরণ (Horizontal Line Equation)

যদি একটি রেখা $ y $-অক্ষে অনুভূমিক থাকে, অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট $ y $-মানের সমান হয়, তবে সমীকরণ হবে:
\[
y = c
\]
এখানে $ c $ হলো $ y $-এর মান।

উদাহরণস্বরূপ, $ y = 5 $ একটি অনুভূমিক রেখার সমীকরণ।

৬. উল্লম্ব রেখার সমীকরণ (Vertical Line Equation)

যদি একটি রেখা $ x $-অক্ষে উল্লম্ব থাকে, অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট $ x $-মানের সমান হয়, তবে সমীকরণ হবে:
\[
x = c
\]
এখানে $ c $ হলো $ x $-এর মান।

উদাহরণস্বরূপ, $ x = -3 $ একটি উল্লম্ব রেখার সমীকরণ।

এই আকারগুলির মধ্যে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে নির্দিষ্ট আকার ব্যবহার করা হয়, যেমন ঢাল ও ছেদ বিন্দু জানলে ঢাল-অবস্থান আকার ব্যবহার করা হয়, এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ও ঢাল জানা থাকলে বিন্দু-ঢাল আকারের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়।

Notification